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乔治·波利亚是二战时期移民美国的匈牙利裔数学家，以其在数学分析、数论、组合数学和概率论等领域的贡献而著称；也是著名的布达佩斯“火星人”之一。波利亚不仅是一位卓越的数学家，也是一位出色的教育家，他的解题思想和方法论对数学教育产生了深远的影响，其著作之《怎样解题》（How to Solve It）被誉为数学教育的经典之作。本文主要介绍波利亚的数学思想，涵盖其对数学本质的思考，对数学解题的认识和总结，以及他所提出合情推理的理念。这些数学思想对今天数学研究和数学教育仍有重要启发意义。（本文原文发表于1985年，编者对部分译名进行了订正。）
撰文 | 杨之
美国著名数学家、教育家乔治 ·波利亚（George Pólya），1887年12月13日出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，他就显示出自己卓越的数学才能。他先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学，于1912年在布达佩斯获厄特沃什·罗兰大学（Eötvös Lorand University）博士学位。1914年，他来到苏黎世，在瑞士联邦理工学院任教，至1928年成为该校正式教授，1938年任该校数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教，1942年后，一直在斯坦福大学任教，1953年起至今，任该校退休教授。他已年近期颐，是当今在世年事最高的数学家兼教育家。（编者注：波利亚于1985年去世。）
乔治 ·波利亚（George Pólya，1887.12.13-1985.9.7）
作为一名数学家，波利亚在众多的数学分支（函数论、变分学、概率论、数论、组合数学）以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树。以他的姓氏命名的波利亚计数定理是近代组合数学的重要工具。为庆贺他75岁生日而专门出版的《数学分析及有关论题的研究——献给乔治·波利亚的论文集》[1]热情洋溢地称颂了他五十年来在数学界所起的领导作用。这本论文集中列出的波利亚已经发表的二百多篇论文的题目，反映了他对数学所作出的巨大贡献。
作为一名教育家，波利亚有着丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术。他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。从青年时代起，波利亚就对数学中的发明创造问题感兴趣。面对一个数学定理和它的巧妙证明，他问自己：数学家是怎样发现这个定理的？是什么促使数学家想到了这个证明？这些问题推动他阅读了大量的数学历史文献，如欧几里得、阿基米德、帕普斯、笛卡尔、牛顿、伯努利、高斯、庞加莱，尤其是欧拉的手稿，深入探索这些著名数学家发现数学真理的过程和经验。同时，他利用在各级学校任教的机会，有目的地观察和研究学生学习和解题的过程，搜集第一手资料，并与心理学家合作，在斯坦福大学心理学实验分所进行一系列实验，致力于解题过程中心理特征的观察研究。通过这些观察研究，波利亚形成了对数学，对数学研究和发现，对数学教学、学习和解题的独到见解，总结出了数学研究的一般规律，提出了合情推理（plausible reasoning）的逻辑规则。这些成果都生动地总结在他的世界名著《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）[2]、《怎样解题》（How to Solve It）[3]、《数学的发现》（Mathematical Discovery）[4, 5]之中。这三部著作相继出版后，受到广泛的欢迎和推崇，被誉为第二次世界大战后出现的经典著作。
为了表彰波利亚的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖（Distinguished Services Award），1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖（Top Honor of Mathematics and Physics）。他先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士。
我国早在1948年，就由中华书局出版了傅佐严译的波利亚的著作《怎样解题》，但影响很小。五十年代和六十年代，一些数学杂志上曾发表过介绍波利亚解题思想的文章。1965年出版了他与哈代（G. H. Hardy）、李特伍德（J. E. Littlewood）合著的《不等式》(Inequalities) [6]的中译本。可是由于某种原因，波利亚的前述三部经典著作的中译本或解放后的重译本直到1980年才开始陆续出版：1980年出版了《数学的发现》第一卷中译本，1981年出版了第二卷中译本，1982.年出版了《怎样解题》重译本，1984年出版了《数学与猜想》两卷中译本。此外，波利亚与塞格（G. Szegő）合著的另一本反映了他数学思想的世界名著《数学分析中的问题和定理》（Problems and Theorems in Analysis）[7]第一卷中译本也于1981年出版，而第二卷将于今年同广大读者见面。无论怎么说，这些著作中译本的出版，说明我国数学界和教育界已经对波利亚的数学思想给予了充分的注意，而这些中译本的出版，也必将对我国的数学研究和数学教学产生深远的影响。
为此，笔者不揣冒昧，试图对波利亚的数学思想作一些评述。
01
数学有两个侧面
数学是什么？数学有什么特点？虽然波利亚没有从哲学角度来回答这些问题，但他对数学的看法有其独到之处，听来发人深省。
通常认为，数学是精密科学，它那从公理出发的论证严格的演绎体系令人叹为观止，它那准确的结论简直无可辩驳，但这只是数学的一个侧面。波利亚认为[3]，“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但它也是别的什么东西。用欧几里得方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生、或教师自己、或公众。”他说[2]：“以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”
这样，波利亚就肯定了观察、实验、归纳、类比、假设、猜测等这些在其他自然科学研究中常用的方法，在数学研究中也起着同样重要的作用。事实上，作出过重大贡献的数学家，如欧拉、高斯等，都非常强调观察、归纳、类比在数学研究中的重要作用。波利亚在著作[2]中，引用这些数学大师的话作为各章的题头语来强调这个观点：
因为流行的观点认为，观察只局限于能产生感性印象的具体对象，所以如果在通常称为纯粹数学的这门数学科学中，也认为观察是一件极为重要的事的话，这看起来似乎颇为荒谬，如果必须把数仅仅看作是纯理性的概念，我们就很难理解观察和假想实验怎么能用于研究数的本质。事实上，正如我以非常充分的理由在此将要指出的那样，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。
——欧拉
我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。
——开普勒
甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
——拉普拉斯
在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。
——高斯
这是历史的宝贵经验，这是在数学上获得过伟大成就的大师们的心声。由他们来公开地向人们展示这些通向数学发现的途径，是特别令人信服的。事实上，任何实际做着数学研究工作的人都在自觉或不自觉地运用着这一套方法。
在著作[2]中，波利亚援引数学史上的实例，生动地向人们展现了这些数学大师们用观察、归纳、类比等方法发现数学真理的过程，他对欧拉成功地用类比方法求得所有自然数平方的倒数之和这一史实评述道：“欧拉成功的决定性因素是大胆。从严格逻辑角度来回顾，他的做法是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。”在严格逻辑意义下是荒谬的步骤导致了数学真理的发现，这体现了数学的两重性。
承认数学的两重性，即承认数学既是演绎体系又是归纳体系，既有完美的形式又有发展过程中的稚气，既是证明的科学又是实验的科学，这无论对于我们进行数学研究，还是对于数学教学和数学应用，都是非常重要的。波利亚本人就把他这种认识贯串于自己的数学教学实践，贯串于对解题过程和数学方法论的研究，甚至贯串于他的一切著作中。
波利亚强调数学来源于实际观察，不仅概念、定理、公式是由观察资料中归纳出来的，就连证明的方法也是如此。他把在研究工作中对图形、数、式子的观察、变换、计算看作是一种实验，并与动物学家对鸟类的观察、地质学家对化石的研究、力学家所做的实验相提并论。他还非常强调数学研究应当从天文学、力学、光学、化学以及生物学中吸取营养。他甚至在著作[2]中，辟“物理数学”专章来解释这个问题。他说[3]：“数学问题经常受到自然界的启发，更确切地说，是受到我们对自然界的解释的启发。也可以说，数学问题的解可以受到自然界的启发，不过，物理学给我们提供的线索，往往不被我们自己所理会，如不讨论物理研究的启发和借助物理解释，那我们对数学问题的观点就太狭隘了。”
02
人类的最富有特征的一种活动
为什么要学习数学？波利亚的回答是明确的[5]：“我们的任何一门学问都由知识和技能组成。如果你对初等或高等数学的研究工作的确有真正的经验的话，那么你对下述这一点将毫不怀疑：在数学中，技能比仅仅掌握一些知识要重要得多。……什么是数学技能呢？数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题。”
波利亚还认为，解题不仅是学生学习数学的中心环节，而且是培养他们以后参加科学或生产活动所必不可少的智能和思维习惯的重要手段。因为“解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，以达到一个不能一蹴而就的目的。解题是智力的特殊成就，而智力又是人类的天赋。因此可以把解题看作是人类的最富有特征的一种活动。”[5]这里，波利亚充分肯定了解题的一般教育价值。因此，他数十年如一日地进行对解题方法的研究。做法是，一方面自己大量解题，积累经验，一方面在教学中仔细观察各种年龄、各种程度的学生的解题过程。波利亚常常看到，有的学生当还不知道题目说了什么时，就动手去解题，有的学生面对题目，无从下手，望洋兴叹，而还有的学生做完题一交了事。
“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的”，然而他看到这种愚蠢可悲的事情却经常发生。教师的责任感使他不遗余力去寻求一个医治这种“解题病”的药方。开始，他只是向学生提出一些要求和解题注意事项，经过多年的实践和反复修改，他终于制订出了一张《“怎样解题”表》[3]，这张表把解题过程中人的思维活动分为四个阶段，每个阶段则由一系列启发式问题、提示或建议来调动人们的思维活动，大体内容如下：
第一，弄清问题，主要是“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？”
第二，拟订计划，即寻求解题思路，通过一系列启发式的问题，帮你回顾必要的知识、方法、模式，作为前进的动因。
第三，实现计划，即把解题过程用数学术语和符号严格表述出来。
第四，回顾，即对解题过程进行检验、总结、推广。
这样，波利亚就从人们大量的解题实践中找到了一般规律，得到了解题过程的一般程序。这张《“怎样解题”表》后来就发展成为他的那部名著《怎样解题》。
建立了这个一般的解题程序之后，波利亚还建立了适于各类题目的特殊解题模式。在《数学的发现》第一部分中，他详细分析了“双轨迹”、“笛卡尔”、“递归”与“叠加”这四个解题模式。接着在该书第二部分，又通过扩大这些模式的范围和发掘其共同因素而“通向一般方法”。
怎样熟练地执行这个一般的解题程序？波利亚回答说[5]：“解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它。”
03
打开数学发现大门的金钥匙
数学家是怎样发现定理和它的证明的？这是一个富有吸引力的问题。在前人研究的基础上，波利亚总结出了数学家探索数学真理的思维过程，找到了打开数学发现大门的金钥匙。
波利亚首先指出[3]：“一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。”他说[4]：“一个有意义的问题的解决，为解决这个问题所花的努力和由此而得到的见解，可以打开通向一门新科学，甚至一个科学新纪元的门户。”要想作出重大的数学发现，就必须重视平时的解题，因为平时解题和数学发现之间，只有难易程度上的差别，而没有本质的差别和不可逾越的鸿沟。因此他主张，一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如拿一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘题目的各个方面，使得学生通过这道题目，就好像通过一道大门而进入一个完整的理论领域。比如，“证明√2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，因为前者通向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户。
打开数学发现大门的金钥匙就在这类好题目之中。如果我们按照《“怎样解题”表》所规定的步骤去探索一个又一个好题目，我们就把金钥匙拿到了手中，并掌握了它的用法。
《“怎样解题”表》的精华是它的第二部分，因为这部分抓住了人们总是“以旧的对付新的”这个一般的思维规律，这也是解决数学问题的一般思维规律：
你以前见过它吗？你是否见过形式上与它稍有不同的问题？……试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题。
如果你在上述提示的某一步闪现出一个思想的火花，得到了肯定的回答，那么你就前进了一步。但对于较困难的题目，这种对“过去”的回顾必须进一步深化，必须对已有的知识方法（包括已积累的模式）进行调动、重组、变换、深入挖掘，甚至付诸像“退一步想”、类比、限定、推广这些手段：
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
这生动地描述了人们探索解题途径的思维过程。当欧拉面对“哥尼斯堡七桥问题”时，他首先用不同的方法加以重述：以纸上的点代替河岸和岛屿，以连线代替桥，从而把问题转换成对图的顶点进行奇偶性分析这个“更普遍的”但也是“更容易着手的”问题，写出了那篇开创了图论和拓扑学的著名论文。了解哥德巴赫猜想研究历史的人，都知道数学家们是怎样“仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分”，提出不止一个“与此有关的”、“更容易着手的”问题，如“1+C”，然后再继续前进的。这些都体现了数学研究的一般思维方法。
波利亚按照自己关于数学发现的思想，与哈代、李特伍德合著了《不等式》，与塞格合著了《数学分析中的问题和定理》和《数学物理中的等周不等式》(Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics) [8]等数学名著。从书名上看，这些著作与类似内容的著作并无不同之处，然而它们最重要的特色在于对材料的精心编排。这种编排充分显示了归纳、类比、推广这些思维方法在发现数学真理过程中的作用，并引导读者自己独立地进行探索，去掌握数学思维的一般规律。
04
关于数学教学的真知灼见
根据对数学发展和数学一般教育价值的看法，根据多年的数学教学经验和所搜集的第一手资料，根据对数学教学方法的历史和现状的分析研究，波利亚提出了他对于数学教学的目的和方法、教学艺术、教材编写和教师培训等一系列问题的精辟见解，提出了一系列关于数学教学的正确主张。
波利亚就现代社会对（高中）数学知识的使用情况进行了概算[4]，结论是：数学家等“生产数学”的人占1%，使用数学的人占29%，而不用数学的人占70%。因此，他主张数学教学的目标应当是提高学生的“一般文化修养”，“首先的和主要的是必须教会青年人思考”。而这就意味着，教师不仅应当传授知识，而且应当发展学生运用知识的能力和良好的思维习惯，也就是发展学生的解题能力。波利亚指出，数学解题能力，除依赖数学专业知识外，还要依赖常识和良好的习惯。他主张教三分之一的数学和三分之二的常识。他说，通过数学教学教常识，这就为70%不用数学的人做了好事，而使得那些用数学的人也不吃亏，因为高中那一点数学，同他们将来要用的数学知识比起来，是一比无穷大。这里，波利亚是把“一般文化修养”、“会思考”、“解题能力”（及其依赖的“常识”）作为同义词使用的。“解题能力”就是自如地运用《“怎样解题”表》的能力。这不仅是指按公理、定理、定义进行严格证明的能力及用图形或语言表述的能力，而且还包括诸如将观察到的情况加以一般化，作归纳的论证，从类比中进行论述，在一个具体的问题中认出一个数学概念，或者从一个具体问题中抽象出一般的原理等进行“非形式”思维的能力。
为此，波利亚提出了三条教学原则：
1）促使学生主动学习的原则
波利亚坚信，“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现”。他引用十八世纪德国物理学家利希滕伯格（G. Lichtenberg）的话说，那些曾使你不得不亲自动手发现了的东西，会在你脑海里留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。他极力主张“思想应当从学生的脑子里产生出来，而教师只应起一个产婆的作用”。
2）最佳动机的原则
波利亚认为，教师作为一个知识推销员，他的责任就是使学生相信数学是有趣的，使他们感到讨论的题目是有趣的，值得努力去做。为了有效地学习，学生应当对所学习的材料感兴趣并在学习活动中找到乐趣，这是最佳的动机。此外，还有一些欠佳的动机，如不学习会带来惩罚等等。教师应当在教学中尽力促使学生产生最佳动机，如引导学生在解题前猜测结果，说明内容的重大背景等。但当然，也要注意其他动机。
3）阶段序进原则
这就是：通过行动和感受的探索阶段，进入术语、定义、证明等的形式化阶段，以及把所学材料消化吸收到自己的知识体系中和整个精神世界中的同化阶段。波利亚认为，现行教材中配备的“常规习题”正好容易让学生忽视“探索”和“同化”这两个阶段。而《“怎样解题”表》的一、二部分属于探索阶段，第三部分属于形式化阶段，第四部分属于同化阶段。他建议：高级中学应当经常介绍一些带有挑战性的题目，一些具有丰富背景并值得深入研究的题目，一些能从中品味到科学家工作的题目。
要实现这些原则，就要有掌握了这些原则的教师。波利亚指出，教师要对自己讲的课题充满兴趣和深入理解，要懂得学习的最佳途径和善于了解学生，在传授知识的同时，要培养学生具有合理思维的能力和有条不紊地工作的习惯，既教会合理猜测，又教会严谨证明，对具体题目要注意其一般价值，讲授方法要有一定技巧，要多建议而不要强迫学生接受。要造就符合这些要求的教师，就要在业务培训的同时，上好“方法”课，方法课要由既有数学研究经验又有教学经验的教师讲授，最好的形式是“解题讲习班”。
要实现这些原则，还要有能体现这些原则的教材。波利亚在这方面做出了范例，他写的书不仅丰富多彩，生动有趣，而且体现出“数学有两个侧面”的特点，不是使读者被动地接受现成知识和作者的观点，而是和读者讨论，为读者提供模仿的例子和练习的机会，促使他们自己去发现、去思考、去汲取，使他们不仅掌握了知识，而且更重要的是，掌握了知识的来源和创造的途径。
波利亚的这些主张是针对美国数学教学的现状而提出来的，但对我国的数学教学，也许不无参考价值。
05
科学发现的逻辑——合情推理
对数学思维规律的研究，使波利亚发现在一般的科学思维中，除“证明推理”（即演绎推理）以外，还有另一种推理，它的具体表现形式是归纳、类比、限定、推广、猜测、检验等。波利亚看到，这是自然科学家由观察大量资料上升到作出结论和考察结论时惯用的方法。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，处处都在用着这种推理。但很可惜，这种推理在逻辑学中没有着重加以研究。波利亚深切感到这种推理对科学研究和科学发现的重大意义，因而研究了这种推理的逻辑规则。他从各门学科和社会生活中搜集大量资料，经过归纳，终于发现，在这种推理中，像“证明逻辑”那样的规则是存在的。
他给这种推理起的名称“plausible reasoning”，直译是“可信的推理”，就是“有一定程度可靠性的推理”，也有“合情”、“似然”、“似真”的意思，现在译成“合情推理”。波利亚认为，贯串着任何科学发现的思维过程的，主要是合情推理，但作为阐述和研究合情推理的恰当例子的，是数学。因此他写了一部专著《数学与猜想》来阐述自己的观点。其第一卷《数学中的归纳与类比》以数学为例来研究归纳、类比、推广、限定、猜测等推理方法的性质和作用，而第二卷《合情推理模式》则着重于建立推理模式和逻辑规则，并与传统的形式逻辑“三段论法”加以对比。这部著作写得既有数学的严谨性又有小说的魅力，读来引人入胜。
波利亚指出，证明逻辑主要是把真假命题分清楚，而合情推理则是要把可靠程度不同的命题相区别。例如，由命题（假设）A可推出B，A真则B真，B假则A假，这是三段论推理。如果由A可推出B，而B真，我们对A能说些什么呢？据“三段论法”我们只能说：“A可真可假”。但在科学思维中，一个命题的推论被证实，对命题为真的可能性肯定是有影响的，这就是“A为真的可能性增加了”，于是有如下的“归纳推理基本模式”：
波利亚从人们的科学思维中，总结出不少归纳推理基本模式的变式，如
就是：若命题A的一系列推论被证实，或其一个极不平常的推论被证实，则A将大大提高可靠性。同样，我们有“类比推理基本模式”及其变式：
就是，若命题A的类似命题被证实，则A更可靠；若A的一系列类似命题被证实，则A大大提高可靠性。
由于在合情推理模式中引进了“命题的可靠性”这一概念，波利亚很自然地想到用概率论中的概念和方法来描述和研究合情推理规则，但是这种尝试遇到了困难。尽管如此，我们可以看到，波利亚在这方面的工作还是富有启发性的。
最后，我们想指出：在目前兴起的思维科学研究中股天下配资股票配资平台，对合情推理思维规律的研究是否可占一席之地呢？因此，我们引用波利亚关于论证推理与合情推理的一段话来结束本文：“无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。论证推理在科学中的渗透程度恰好和数学在科学中的渗透程度一样，但论证推理本身（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理。”[2]